Skip to content

Гдз геометрия бутузов кадомцев прасолов 9 класс

У нас вы можете скачать книгу гдз геометрия бутузов кадомцев прасолов 9 класс в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Они дают возможность учителю организовать индивидуальную работу с учениками, проявляющими особый интерес к геометрии, развить и повысить этот интерес. В конце учебника имеется подробная историческая справка, отражающая этапы развития геометрии и роль великих ученых-геометров в её становлении. Оглавление Введение 3 Глава 7. Координаты точки и координаты вектора 16 Ось координат — Прямоугольная система координат 17 Координаты вектора 22 Длина вектора и расстояние между двумя точками 24 Угол между векторами 25 Уравнение окружности 27 Операции с векторами 33 Сумма векторов — Свойства сложения векторов 35 Произведение вектора на число 38 Скалярное произведение векторов 40 Геометрические преобразования 48 Осевая симметрия — Центральное подобие 52 Площадь многоугольника 64 Равносоставленные многоугольники — Площадь многоугольника 65 Площадь прямоугольника 68 Площадь треугольника 69 Докажем утверждения 3 и 4.

Для этого введём прямоугольную систему координат и обозначим координаты векторов а, Ь и с так: Преобразование подобия часто используется в геометрии. С его помощью можно ввести понятие подобия произвольных фигур: Можно доказать задача 68 , что применительно к треугольникам это определение подобия равносильно определению из п.

На рисунке 74 изображены фигуры F и Fj, подобные с коэффициентом 2 центральное подобие с центром О и коэффициентом 2 переводит фигуру F в фигуру Fj. Каждой точке М на первой карте соответствует точка Mj на второй карте, изображающая ту же самую точку на местности, что и точка М на первой карте. При этом расстояние между любыми двумя точками на первой карте в определённое число раз больше или меньше , чем расаояние между соответствующими им точками на второй карте.

Вопросы и задачи Напишите уравнение окружноаи с центром на оси ординат, проходящей через точки А 3; 8 и В -4; 1. Докажите, что сумма квадратов расаояний от любой точки окружности до вершин описанного около неё квадрата есть величина постоянная. Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружноаи до вершин вписанного в неё квадрата есть, величина постоянная.

Даны две точки А и В. Три вершины параллелограмма ABCD имеют координаты: Напишите уравнение прямой BD. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно к данной прямой. Медианы треугольника с вершинами А 5; 1 , В -7; 4 и С пересекаются в точке G -2;3.

Напишите уравнение прямой CG и найдите координаты точки С. Напишите уравнение этой окружноаи. Может ли длина суммы: Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М. Докажите, что для любого вектора а справедливо равенство: Используя векторы, докажите, что BE AF. Используя векторы, докажите, что либо существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам А,А2, В,В2, С,С2, либо один из этих отрезков равен сумме двух других.

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диаюналей трапеции, параллелен основаниям и равен их полуразности. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. В первом случае площадь S треугольника АВС равна половине произведения его катетов, т. Площадь параллелограмма Условимся одну из сторон параллелограмма называть основанием, а перпендикуляр, проведённый из любой точки противоположной стороны к прямой, содержащей основание, — высотой параллелограмма.

В самом деле, в ходе доказательства теоремы мы установили, что величина S вдвое больше площади треугольника ABD см. Эту формулу связывают с именем древнегреческого математика и инженера Герона Александрийского ок.

Таким образом, предел, к которому стремится периметр правильного описанного около окружности 2"-угольника при неограниченном увеличении числа л, также равен длине окружности. Для этого рассмотрим правильный 2"-угольник, описанный около окружности, ограничивающей круг рис. С другой стороны, площадь S данного круга меньше площади так как этот круг содержится в описанном многоугольнике.

Постройте окружность с центром О так, чтобы площадь ограниченного ей круга равнялась площади кольца между ней и данной окружностью.

Вопросы для повторения 1. Какие многоугольники называются равносоставленными? Докажите, что треугольник равносоставлен с прямоугольником, одна из смежных аорон которого равна половине периметра треугольника, а другая — радиусу вписанной в него окружноаи. Расскажите, как измеряются площади многоугольников. Что такое квадратный сантиметр?

Какие свойства площадей называются основными? Какие многоугольники называются равновеликими? В чём заключается теорема Бойяи — Гервина? Сформулируйте и докажите теорему о площади прямоугольника. Докажите, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной в него окружноаи. Как связаны площади двух подобных многоугольников? Что такое основание треугольника?

Что называют высотой треугольника в том случае, когда выбрано основание? Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника. Как выражается площадь треугольника через две его аороны и угол между ними? Что такое основание параллелограмма? Что называют высотой параллелограмма в том случае, когда выбрано основание?

Сформулируйте и докажите теорему о площади параллелограмма. Как выражается площадь параллелограмма через две его стороны и угол между ними? Сформулируйте и докажите теорему о площади трапеции. Выведите формулу, связывающую; а периметры правильных вписанного и описанного для данной окружности л-угольников; б площадь вписанного в окружность правильного л-угольника с периметром описанного около неё правильного л-угольника.

Выведите формулу, выражающую длину окружности через её радиус. Объясните, какое число обозначается буквой п. Выведите формулу длины дуги окружности. Выведите формулу, выражающую площадь круга через его радиус. Какая фигура называется сегментом? Как найти площадь сегмента? Докажите, что диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника. Через вершину квадрата проведите две прямые так, чтобы они разделили его на три равновеликих многоугольника.

Докажите, что медианы треугольника разделяют его на шеаь равновеликих треугольников. Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника равны друг другу.

Найдите отношения площадей этих многоугольников. Найдите отношение площадей двух правильных шестиугольников — вписанного в окружность и описанного около неё. Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Диагонали равнобедренной трапеции со средней линией, равной а, взаимно перпендикулярны. Диагональ равнобедренной трапеции равна 13 см, а её высота равна 12 см.

Найдите углы трапеции, если её диагональ равна б, а площадь равна 9. Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если: Найдите длину окружности, описанной около: Три окружности с длинами с касаются друг друга. Найдите длину окружности, касающейся каждой из них извне. Четыре окружности с длинами с касаются друг друга так, что каждая из них касается ровно двух других. Найдите площадь круга, описанного около: На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга.

Докажите, что площадь полукруга, поароенного на гипотенузе, равна сумме площадей полукругов, построенных на катетах. В правильный многоугольник вписана окружность. Докажите, что отношение площади круга, ограниченного этой окружностью, к площади многоугольника равно отношению длины окружности к периметру многоугольника. К окружноаям радиусов г и Зг, касающимся друг друга извне, проведена общая касательная так, что окружноаи лежат по одну сторону от неё. Найдите площадь фигуры, ограниченной отрезком этой касательной и двумя дугами окружностей, меньшими полуокружностей.

О j- O Ш X Объёмы тел обладают свойствами, аналогичными основным свойствам площадей; 1 равные тела имеют равные объёмы; 2 если тело составлено из нескольких тел так. Свойства 1 и 2 называются основными свойствами объёмов. В этой главе мы рассмотрим некоторые виды геометрических тел и приведём формулы, по которым вычисляются их объёмы и площади поверхностей. При этом мы будем опираться на наглядные представления. Доказательства соответавующих утверждений будут приведены в систематическом курсе стереометрии, изучаемом в 10—11 классах.

Рассмотрим л-угольник и точку Р, не лежащую в плос- кости этого многоугольника. Соединим точку Р отрезками с вершинами многоугольника. В результате получим п треугольников с общей вершиной Р рис. Многогранник, составленный из многоугольника А,А На рисунке 97 изображены четырёхугольная и шестиугольная пирамиды.

Треугольную пирамиду называют также тетраэдром. Четырёхугольная пирамида Шестиугольная пирамида 93 Рис. Поясним, что понимается под перпендикулярностью прямой и плоскости. Прямая а, пересекающая плоскость а в некоторой точке А рис. В курсе стереометрии доказывается, что: Пирамида называется правильной, если её основание — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек например, плоскости пола и потолка комнаты. О мые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. В каждом из этих четырёхугольников две стороны равны и параллельны, поэтому все они являются параллелограммами. Многогранник, соаавленный из двух равных л-угольников AiA Указанные л-угольники называются основаниями, параллелограммы — боковыми гранями, а отрезки Прямая призма Параллелепипед ш Прямоугольный параллелепипед Рис.

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны друг другу. Отрезок, соединяющий произвольную точку плоскости одного основания с точкой плоскости другого основания и перпендикулярный к обеим плоскостям рис. В курсе стереометрии доказывается, что все высоты призмы равны и параллельны друг другу. Там же доказывается, что: Если все боковые рёбра призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований, то призма называется прямой рис. Боковые грани прямой призмы — прямоугольники.

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной. Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом см.

Таким образом, все грани параллелепипеда — параллелограммы. Если параллелепипед является прямой призмой, т. Такой параллелепипед называется прямым. Прямой параллелепипед, основания которого прямоугольники, называется прямоугольным рис. Форму прямоугольного параллелепипеда имеют коробки, комнаты и многие другие предметы.

П viJ ш правильный тетраэдр. Тетраэдр — от греческих тетра [тетра] — четыре и Ё5ра [эдра] — основание, грань Правильный октаэдр. Октаэдр — от греческих октсо [окто] — восемь и йра Правильный икосаэдр. Додекаэдр — от греческих 8о5ека [додека] — двенадцать и ебра Рис. Оказывается, однако, что это не так. В курсе стереометрии доказывается, что существует ровно пять видов правильных многогранников: Правильные многогранники называют также Платоновыми телами по имени древнегреческого философа Платона — гг.

Последователи Пифагора придавали правильным многогранникам особый, мистический смысл: Т,, Тз и Тд. Найдите объём тела Тд.

Related Posts

Свежие записи

Свежие комментарии

Архивы

Рубрики

Мета